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二叉搜索树的深度与搜索效率
我们在中提到，一个有n个节点的二叉树，它的最小深度为log(n)，最大深度为n。比如下面两个二叉树:
深度为n的二叉树
深度为log(n)的二叉树
这两个二叉树同时也是二叉搜索树(参考)。注意，log以2为基底。log(n)是指深度的量级。根据我们对深度的定义，精确的最小深度为floor(log(n)+1)。
我们将处于同一深度的节点归为一层。如果除最后一层外的其他层都被节点填满时，二叉树有最小深度log(n)。
二叉搜索树的深度越小，那么搜索所需要的运算时间越小。一个深度为log(n)的二叉搜索树，搜索算法的时间复杂度也是log(n)。然而，我们在中已经实现的插入和删除操作并不能让保持log(n)的深度。如果我们按照8，7，6，5，4，3，2，1的顺序插入节点，那么就是一个深度为n的二叉树。那么，搜索算法的时间复杂度为n。
n和log(n)的时间复杂度意味着什么呢？时间复杂度代表了完成算法所需要的运算次数。时间复杂度越小，算法的速度越快。
可以看到，随着元素的增加，log(n)的时间复杂度的增长要远小于n。所以，我们自然希望二叉搜索树能尽可能保持log(n)的深 度。在上面深度为n的例子中，我们发现，每个节点只有左节点被填满。树的每一层都有很多空位。能不能尽可能减少每一层的空位呢？ (相应的，减少树的深度)
“紧致”的树
一种想法是先填满一层，再去填充下一层，这样就是一个完全二叉树(complete binary tree)。这样的二叉树实现插入算法会比较复杂。我们将介绍一种思路相似，但比较容易实现的树状数据结构——AVL树。
AVL树
AVL树是根据它的发明者G. M. Adelson-Velskii和E. M. Landis命名的。它是一种特殊的二叉搜索树。AVL树要求: 任一节点的左子树深度和右子树深度相差不超过1
(空树的深度为0。注意，有的教材中，采用了不同的深度定义方法，所以空树的深度为-1)
下面是AVL树:
AVL树
AVL树的特性让二叉搜索树的节点实现平衡(balance)：节点相对均匀分布，而不是偏向某一侧。因此，AVL树的搜索算法复杂度是log(n)的量级。
我们在中定义的操作，除了插入，都可以用在AVL树上 (假设使用懒惰删除)。如果进行插入操作，有可能会破坏AVL树的性质，比如:
插入2: 破坏AVL树
观察节点5，它的左子树深度为2，右子树深度为0，所以左右两个子树深度相差为2，不再是AVL树。由于2的加入，从节点 6，1，5，3到2的层数都增加1。6, 1, 5节点的AVL性质都被破坏。如果从节点2向上回溯，节点5是第一个被破坏的。从节点3开始的子树深度加1，这是造成6, 1, 5的AVL性质被破坏的本质原因。我们将5和3之间的路径画成虚线(就好像挂了重物，边被拉断一样)。
我们可以通过单旋照(single rotation)，调整以5为根节点的子树，来修正因为插入一个元素而引起的对AVL性质的破坏。如下:
Single rotation: 左侧超重，向右转
通过单旋转，3成为新的根节点，2,5称为3的左右子节点。子树重新成为AVL树。该子树的深度减小1，这将自动修正2带给节点6,1的“超负荷”。
单旋转效果如下：
向右单旋转
特别要注意的是，为了保持二叉树的性质，子树B过继给了节点5。
向左单旋转与之类似。作为练习，可以尝试绘制向左单旋转的示意图。
但如果插入的节点不是2，而是4，会是如何呢？
插入4
尝试单旋转，会发现无法解决问题。以5为根节点的子树向右单旋转后，树将以3为根节点，4,5为子节点。4比3大，却是3的左子节点，显然，这依然不符合二叉搜索树的性质。但基于和上面相似的原则(调整以5为根节点的树)，我们发现有一个简单的解决方式：
double rotation
上面的操作被称作双旋转(double rotation)。双旋转实际上是进行两次单旋转: 4为根节点的子树先进行一次向左的单旋转，然后将5为根节点的子树进行了一次向右的单旋转。这样恢复了树的ACL性质。
对于AVL树，可以证明，在新增一个节点时，总可以通过一次旋转恢复AVL树的性质。
当我们插入一个新的节点时，在哪里旋转？是用单旋转还是双旋转?
我们按照如下基本步骤进行：
1. 按照二叉搜索树的方式增加节点，新增节点称为一个叶节点。
2. 从新增节点开始，回溯到第一个失衡节点(5)。
(如果回溯到根节点，还没有失衡节点，就说明该树已经符合AVL性质。)
3. 找到断的边(5->3)，并确定断弦的方向(5的左侧)
4. 以断边下端(3)为根节点，确定两个子树中的哪一个深度大(左子树还是右子树)。
(这两棵子树的深度不可能相等，而且深度大的子树包含有新增节点。想想为什么)
5. 如果第2和第3步中的方向一致(都为左或者都为右)，需要单旋转以失衡节点为根节点的子树。
否则，双旋转以失衡节点为根节点的子树。
下面是AVL树的插入算法实现如下:
/* By Vamei *//* binary search tree */#include#include typedef struct node *position;typedef int ElementTP;struct node { int depth; position parent; ElementTP element; position lchild; position rchild;};/* pointer => root node of the tree */typedef struct node *TREE;position insert_value(TREE, ElementTP);int depth(TREE);static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE, position);static void update_root_depth(TREE); static TREE recover_avl(TREE, position);static int depth_diff(TREE); static position insert_leaf(TREE, ElementTP);static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE, position);static TREE left_single_rotate(TREE);static TREE left_double_rotate(TREE);static TREE right_single_rotate(TREE);static TREE right_double_rotate(TREE);void main(void) { TREE tr; position np; ElementTP element; tr = NULL; tr = insert_value(tr, 18); tr = insert_value(tr, 5); printf("root: %d\n", tr->element); printf("depth: %d\n", depth(tr)); tr = insert_value(tr, 2); printf("root: %d\n", tr->element); printf("depth: %d\n", depth(tr)); tr = insert_value(tr, 4); printf("root: %d\n", tr->element); printf("depth: %d\n", depth(tr)); printf("root->lchild: %d\n", tr->lchild->element); tr = insert_value(tr, 3); printf("root: %d\n", tr->element); printf("depth: %d\n", depth(tr)); printf("root->lchild: %d\n", tr->lchild->element); printf("root->lchild->lchild: %d\n", tr->lchild->lchild->element);}/* * insert value * */position insert_value(TREE tr, ElementTP value) { position new; /* insert a value to a binary search tree */ new = insert_leaf(tr, value); update_root_depth(new); if (tr == NULL) { tr = new; } else { tr = recover_avl(tr, new); } return tr;}/* * get the depth of the tree * use this function to access depth */int depth(TREE tr) { if (tr == NULL) { return 0; } else { return tr->depth; }}//========================================// static functions: for internal use/* * traverse the path from new node to root node * make one rotation, recover AVL and stop */static TREE recover_avl(TREE tr, position np) { int myDiff; while (np != NULL) { update_root_depth(np); myDiff = depth_diff(np); if (myDiff > 1 || myDiff < -1) { if (myDiff > 1) { /* left rotate needed */ if(depth_diff(np->rchild) > 0) { np = left_single_rotate(np); } else { np = left_double_rotate(np); } } if (myDiff < -1) { if(depth_diff(np->lchild) < 0) { np = right_single_rotate(np); } else { np = right_double_rotate(np); } } /* if rotation changes root node */ if (np->parent == NULL) tr = np; break; } np = np->parent; } return tr;}/* * difference of rchild->depth and lchild->depth */static int depth_diff(TREE tr) { if (tr == NULL) { return 0; } else { return depth(tr->rchild) - depth(tr->lchild); }}/* * left single rotation * return the new root */static TREE left_single_rotate(TREE tr) { TREE newRoot, parent; parent = tr->parent; newRoot = tr->rchild; /* detach & attach */ if (newRoot->lchild != NULL) newRoot->lchild->parent = tr; tr->rchild = newRoot->lchild; update_root_depth(tr); /* raise new root node */ newRoot->lchild = tr; newRoot->parent = parent; if (parent != NULL) { if (parent->lchild == tr) { parent->lchild = newRoot; } else { parent->rchild = newRoot; } } tr->parent = newRoot; update_root_depth(newRoot); return newRoot;}/* * right single rotation * return the new root */static TREE right_single_rotate(TREE tr) { TREE newRoot, parent; parent = tr->parent; newRoot = tr->lchild; /* detach & attach */ if (newRoot->rchild != NULL) newRoot->rchild->parent = tr; tr->lchild = newRoot->rchild; update_root_depth(tr); /* raise new root node */ newRoot->rchild = tr; newRoot->parent = parent; if (parent != NULL) { if (parent->lchild == tr) { parent->lchild = newRoot; } else { parent->rchild = newRoot; } } tr->parent = newRoot; update_root_depth(newRoot); return newRoot;}/* * left double rotation * return */static TREE left_double_rotate(TREE tr) { right_single_rotate(tr->rchild); return left_single_rotate(tr);}/* * right double rotation * return */static TREE right_double_rotate(TREE tr) { left_single_rotate(tr->lchild); return right_single_rotate(tr);}/* * update tr->depth * assume lchild->depth and rchild->depth are correct */static void update_root_depth(TREE tr) { int maxChildDepth; int depLChild, depRChild; if (tr==NULL) return; else { depLChild = depth(tr->lchild); depRChild = depth(tr->rchild); maxChildDepth = depLChild > depRChild ? depLChild : depRChild; tr->depth = maxChildDepth + 1; }}/* * insert a new value into the tree as a leaf * return address of the new node */static position insert_leaf(TREE tr, ElementTP value) { position np; /* prepare the node */ np = (position) malloc(sizeof(struct node)); np->element = value; np->parent = NULL; np->lchild = NULL; np->rchild = NULL; if (tr != NULL) { insert_node_to_nonempty_tree(tr, np); } return np;}/* * insert a node to a non-empty tree * called by insert_value() */static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE tr, position np){ /* insert the node */ if(np->element <= tr->element) { if (tr->lchild == NULL) { /* then tr->lchild is the proper place */ tr->lchild = np; np->parent = tr; return; } else { insert_node_to_nonempty_tree(tr->lchild, np); } } else if(np->element > tr->element) { if (tr->rchild == NULL) { tr->rchild = np; np->parent = tr; return; } else { insert_node_to_nonempty_tree(tr->rchild, np); } }}
输出如下：
root: 18
depth: 2 root: 5 depth: 2root: 5
depth: 3 root->lchild: 2 depth: 3 root->lchild: 3 root->lchild->lchild: 2(空行是额外加的)
总结:
AVL树: 平衡，深度相差不超过1
单旋转，双旋转
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